Как рисовать графики по математике

как рисовать графики по математике МБОУ Ордынского района Новосибирской области –

Верх-Ирменская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза А. И. Демакова
Рисуем графиками функций

реферат по алгебре

Выполнили:

Лещенко Галина,

Лукьянова Юлия

ученицы 8 – го класса

Руководитель работы:

Руденская Т.А.

учитель математики
Верх-Ирмень

2009

Оглавление

Введение


  1. Рисование на математике………………………..3

  2. История развития функции……………………...4

3. Виды функций……………………………………5

а) что такое функция………………………….....5

б) линейная функция…………………………….6

в) квадратичная функция………………………..6

г) обратная пропорциональность……………….7

д)функция у=|х|…………………………………..8

е) тригонометрические функции……………......9

ж) показательная функция……………………....9

з) логарифмическая функция…………………..10

4. Рисунки с помощью графиками функции……...11

5. Пословицы графиками функций………………..14

Вывод…………………………………………….16

Приложение………………………………………17

Список используемой литературы………………30
Введение

С рисованием знаком каждый человек нашего мира. Люди начинают рисовать с самого детства. Ученые говорят, что самый лучший рисунок в жизни человека - рисунок в детстве (приложение №1, №2).

Рисование – это искусство изображать на плоскости, действительно существующие или воображаемые предметы с обозначением их форм линиями и различной степени освещения этих форм. Получаемое таким образом, изображение называется рисунком, а художник, производящий его – рисовальщиком.

Рисовать каждым из перечисленных способов можно не только на белой бумаге, но и на цветной, например, на серой, синеватой, желтоватой и другой; когда взята такая бумага, бывает весьма уместно, для придания изображению большей рельефности, проходить по его местам, представленным в полном освещении, белым карандашом или кистью с белилами.

Задача рисунка заключается в воспроизведении предметов, имеющих все три измерения, в том виде, в каком они представляются нашим глазам с одного определенного пункта (точки зрения), т. е. как бы находящимися на одной плоскости (так называемой картинной) и притом в большинстве случаев значительно меньшего размера сравнительно с действительным. Архитектор, составляя проект сооружения, прежде всего, выражает рисунком возникшую в его фантазии идею будущего произведения, выясняет для себя его общий вид и главные детали, и уже после того подробно разрабатывает этот эскиз в чертежах, при помощи линейки, треугольника и циркуля, но и при этой математической операции не упускает из вида красоты и гармоничности рисунка, сложившегося в его голове. Точно также и скульптор, прежде чем приступает к леплению статуи или барельефа, рисует свою композицию, с целью установить ее частности и получить возможность судить о том впечатлении, какое она будет производить впоследствии. Но особенно важную роль играет рисование в живописи. Вся сущность этой отрасли искусства состоит из двух элементов: рисунка и колорита.

Рисуют карандашами, красками, пальцами, маркерами, тушью; с помощью мазков и линий. Этими линиями могут быть графики различных функций.

В школьном курсе изучается много различных функций и их графиков, но задания в наших школьных учебниках однообразные. При построении графиков кусочных функций хотелось дорисовать какие-то линии, чтобы получилось вполне узнаваемое изображение. Актуальность работы над темой реферата заключается в том, чтобы разнообразить получаемые изображения, при этом повышается интерес к данной теме, развиваются художественные способности, которые лежат в основе различных профессий: архитектора, дизайнера, скульптора и т.д.

Итак, целью нашей работы стало:

Научиться с помощью графиков функций рисовать различные изображения фигур, предметов из жизни и окружающей среды

Для достижения поставленной цели мы поставили следующие задачи:


  • Изучить историю развития функции

  • Познакомиться с новыми функциями и их графиками

  • Узнать их свойства

  • Нарисовать с помощью графиков функций различные картинки

Методы и приемы, которые мы использовали:


  • Анализ знаний о известных функциях и их графиков

  • Изучение и анализ дополнительной литературы

  • Практический метод

Рисование на математике

В 6 классе мы познакомились с координатной плоскостью, научились строить точки по их координатам. Затем учитель предложила нам соединить точки в определенной последовательности, у нас получались различные забавные картинки: рыбки, домики, снеговики, мишки и т.д. И чем больше было координат точек, тем было интереснее работать (приложение №3, №4, №5, №6). Затем мы уже сами составляли рисунки по координатам:

В 7 и 8 классах, познакомившись с простейшими функциями, научившись строить графики кусочных функций, появилась идея: рисовать не отдельными точками, а множеством точек, то есть – графиками.

История развития функции

С начала 19 века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В руководстве французского математика С. Лакруа (1810) говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних».

В 1885 немецкий математик К. Вейерштрасс установил аналитическую изобразимость любой непрерывной функции. Первое определение функции в смысле, близком к современному, находим у швейцарского математика И. Бернулли. В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. В работе французского математика П. Ферма «Введение в изучение плоских и телесных мест» (1636) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место функции».

В 1905 французский математик А. Лебег предложил общее определение аналитически изобразимой функции как функцию, значения которой получаются из значений х и постоянных величин при помощи арифметических действий.

Кроме того, многие свои труды посвятили функциям: Николай Лобачевский, Леонард Эйлер, Р. Декарт

Виды функций

Что такое функция?

ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Зависимую переменную называют – функция, а не зависимую – аргумент.

Значение функции может быть дано или аналитическим выражением или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной. Если величины х и у связаны так, что каждому значению х соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента х. Чтобы задание функции графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определённо. Поэтому для графического задания функции должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию функции; однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Простейшая функция, изображаемая на графике прямой линией (рисунок). Выражается формулой y = kx+ b, где k и b – какие – то числа. Если k меньше 0, то угол наклона к оси х тупой, если k больше нуля, то угол – острый.

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Y=kX ²

При k > 0:


  • Область определения функции (- ∞, +∞).

  • Y=0 при X=0; Y > 0 при X ≠ 0

  • Y=kX ² - непрерывная функция.

  • Yнаим. =0 (при X=0)

Yнаиб. = не существует

  • Функция Y=kX ² возрастает при X ≥ 0 и убывает при X ≤ 0.

  • Функция Y= kX ² (k >0) ограничена снизу и не ограничена сверху.

При k < 0:


  • Область определения ( - ∞, + ∞).

  • Y=0 при X=0; Y < 0 при X ≠ 0.

  • Y=kX ² - непрерывная функция.

  • Yнаиб. =0(при X=0)

Yнаим. = не существует.

  • Функция возрастает при X ≤ 0, убывает при X ≥ 0.

  • Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

График функции – парабола.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Y= k

X

При k > 0


  • Область определения - все числа кроме X=0

  • Y > 0 при X > 0; Y < 0 при X < 0.

  • Функция убывает на промежутке (- ∞,0) и (0, +∞).

  • Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

  • Ни У наибольшего, ни Yнаименьшего у функции не

  • Функция непрерывна на промежутках (- ∞,0) и (0,+∞) и претерпевает разрыв при X=0.

Y= k

X

При k <0


  • Область определения - все числа кроме X=0.

  • Y > 0 при X < 0, Y < 0 при X > 0.

  • Функция возрастает на промежутках ( - ∞, 0) и (0, +∞).

  • Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

  • Ни Y наименьшего, ни Yнаибольшего у функции нет.

  • Функция непрерывна на промежутках (- ∞,0) и(0, +∞), и претерпевает разрыв при X=0.

График функции – гипербола.

У=|Х|

Графиком является угол.


  • Унаиб. = не существует,

Унаим.=0

  • Функция возрастает (0,+∞), убывает (- ∞,0)

  • Область определения (- ∞, +∞).

  • У=0 при Х=0, У>0 при Х≠0

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу.

График функции – угол.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

играют важнейшую роль в математике.

у=sinx графиком является синусоида, а графиком функции y=cosx так же является синусоида, но смещенная влево. Графиком функции y=tgx является тангенсоида, с имеющая много точек разрыва.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (экспоненциальная функция)

функция y =а x; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции е x при основаниях е > 0, е ¹ 1 [например, 2 х, (1/2) х и т. д.]. Графиком является экспонента, если, а>1, то график возрастает. А если, а<1>0 то график убывает. График показательной функции проходит через точку (0;1)


ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y = ln x ее значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой, а чаще – экспонентой.

Равенство у = logax определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления. Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математиком Й. Бюрги в начале 17 в. Термин «логарифм» возник из сочетания греческих слов logos — отношение, соотношение и arithmos — число.

Рисунки с помощью графиков функций

Изучив и познакомившись с перечисленными функциями и их графиками, у нас получились различные изображения.

«Самолет»:

приложение №7

«Парашют»

Приложение №8

«Пешка»

Приложение №9

«Бабочка»

Приложение № 10

«Весы»

Приложение №11

«Сомбреро»

Приложение №12

«Лягушонок» - приложение №13

Пословицы графиками функций

Чтобы иллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.

«Чем дальше в лес, тем больше дров», гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса. Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать количество дров на данном километре. График представляет собой количество дров как функцию пути.

Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием. Математически: x1< x2 =>f(x1)

«Пересев хуже недосева». Вековой опыт свидетельствовал: урожай хорош лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта характерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графически, где урожай представлен как функция плотности посева.

Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни. Максимум здесь локальный. Математически это значит: существует некоторая (а-б, а+б) - окрестности точки х=а такая, что для всех х из области определения функции, входящих в эту окрестность, выполняется условие:|х-а| < б =>f(x)

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня графически, то высота скачков, в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».


Это свойство присуще функциям sin x и cos x. Здесь тоже есть своя «мера», за пределы которой не вздымаются волны синусойды и косинусоиды. Графики этих функций находятся в полосе между прямыми y=-1 и y=1/.
Вывод

Работая над рефератом, мы достигли поставленной цели и увидели, что если к любому делу относиться творчески, с интересом, то даже такая сложная наука, как математика становиться более понятной, доступной и интересной, что очень важно.

Не прав тот, кто считает математику скучной и сухой наукой. Еще С. Пуассон сказал: «Жизнь украшается двумя вещами: знанием математики и ее преподаванием».

Думаем, что наши картинки украсили нашу жизнь в прямом смысле!
Приложение №1


Приложение №2

Приложение №3


Приложение №4

Приложение №5


Приложение №6

Приложение №7


Приложение №8

Приложение №9

Приложение №10


Приложение №11


Приложение №12


Приложение №13

Используемая литература:


  • «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия», в электронном виде 2CD, 2008 год.

  • «Дидактические игры на уроках математике», «Просвещение», 1990 год.

  • «Открытая математика. Функции и графики» версия 2.6 – в электронная версия 1 CD.

  • Учебники «Алгебра» 8,10 класс, «Мнемозина» 2004 год.

</1>


Источник: http://referat.znate.ru/text/index-9553.html



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Графики и свойства элементарных функций Мастер класс игрушки из материала

Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике Как рисовать графики по математике

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ